Может ли родитель отказаться платить штраф за своего ребёнка?

Нет, не может. Статья 32.2 Кодекса РФ об административных правонарушениях устанавливает обязанность родителей (иных законных представителей) несовершеннолетних брать на себя расходы по оплате административного штрафа в случае отсутствия у несовершеннолетнего самостоятельного заработка.

Если родителями или законными представителями указанная обязанность своевременно не исполнена, они могут быть привлечены к ответственности за неуплату административного штрафа в установленный срок. За это предусмотрено наложение административного штрафа в двукратном размере суммы неуплаченного административного штрафа, но не менее одной тысячи рублей, либо административный арест на срок до пятнадцати суток, либо обязательные работы на срок до пятидесяти часов.